26/07/2025
SỬ DỤNG ĐA THỨC BERNSTEIN-BEZIE XÂY DỰNG ĐƯỜNG VÀ MẶT PHỨC TẠP
Tác giả: Nguyen Duc Minh
Năm 1885, Định lý Weierstrass (đôi khi gọi là Định lý xấp xỉ Weierstrass) là một định lý rất nổi tiếng trong giải tích, đặc biệt trong giải tích hàm.
Năm 1912, Sergei Bernstein (người Ucraina) đưa ra một chứng minh định lý Wierstrass, xuất phát từ ý tưởng xác suất, và từ đó có tên đa thức Bernstein, nhờ đó có thể xây dựng rõ ràng một chuỗi đa thức để xấp xỉ.
Bezie rong quá trình thiết kế thân xe ô tô tại hãng Renault, Ông dùng phương pháp mô hình hóa các đường cong và bề mặt một cách chính xác và điều khiển được trên màn hình máy tính.
Ông đã sử dụng đa thức Bernstein để xây dựng cái ngày nay được gọi là đường cong Bézier (Bézier curves).
Năm 1962, ông giới thiệu hệ thống phần mềm thiết kế đầu tiên dùng Bézier curves và Bézier surfaces, giúp kiểm soát hình dạng bề mặt xe hơi một cách hiệu quả.
Tháng 12/1983, tại Trường Kỹ sư Xây dựng Sofia Bulgaria, dựa trên ý tưởng Bézier curves và Bézier surfaces, Nguyen Duc Minh, sau khi tìm hiểu nhiều phương pháp khác nhau đã đi đến chọn ý tưởng này để xây dựng phương pháp nội suy đường bình độ địa hình và xây dựng mô hình số địa hình, là loại đường và mặt phức tạp nhất trong các loại đường và mặt.
Nguyen Duc Minh đã sử dụng nguyên lý của Phương pháp phần tử hữu hạn, để nội suy các đường bình độ địa hình gồm các đoạn Bézier curves. Và cũng tại Luận văn này đề xuất phương pháp xây dựng mô hình số địa hình trên một vùng rộng lớn được xác định bởi các phần tử tam giác không cắt nhau.
Đường bình độ địa hình là loại đường mô tả bề mặt địa hình, mà địa hình là kết quả ngẫu nhiên do tác động của mưa, gió, lũ lụt, … trên bề mặt quả đất, vì vậy cũng cần có giải pháp đặc biệt. Điều này cần đến chia ra từng đoạn hay các vùng phù hợp phù hợp với các đặc trưng của địa hình.
Kết quả là đường cong liên tục trên tất cả các đoạn và trơn vì cùng đạo hàm. Tương tự như vây mặt tạo bởi các phần tử tam giác cũng đảm bảo liên tục và trơn tại các đỉnh là các điểm trong vùng xác định.
Đường bình độ dùng để mô tả bề mặt địa hình cả trên giấy và trên máy tính khi bộ nhớ và xử lý của máy tính còn rất hạn chế như thời điểm 1986. Ngày nay nhờ cải thiện lưu trữ dữ liệu và tốc độ xử lý, và sử dụng cả AI thì việc sử dụng Phương pháp phần tử hữu hạn thì lại càng hiệu quả rất nhiều. Đó cũng là xu hướng áp dụng trong kỹ thuật và đời sống trong tương lai.
Kết luận: Việc một đường nhốt trong lồng Bezie thì quỷ đạo của nó không bao giờ va vào biên đảm bảo quỹ đạo của nó luôn an toàn. Tương tự một mặt nhốt trong một lồng Bezie, bất cứ một quỹ đạo trên mặt đó cũng an toàn.
Việc các “Lồng Bezie” có thể là một mở rộng để có thêm những cách giải những bài toán liên quan đến ổn định, ổn định động trong tương lai.
@@@@
Dưới đây là bản dịch tiếng Anh của đoạn văn bạn cung cấp:
______________________________________
USING BERNSTEIN-BÉZIER POLYNOMIALS TO CONSTRUCT COMPLEX CURVES AND SURFACES
Author: Nguyen Duc Minh
In 1885, the Weierstrass Theorem (sometimes referred to as the Weierstrass Approximation Theorem) became a famous result in analysis, particularly in functional analysis.
In 1912, Sergei Bernstein, a Ukrainian mathematician, provided a proof of the Weierstrass theorem based on probability theory. From his approach emerged what are now called Bernstein polynomials, which allow explicit construction of a sequence of approximating polynomials.
During the process of designing car bodies at Renault, Pierre Bézier developed methods for accurately modeling and controlling curves and surfaces on a computer screen. He used Bernstein polynomials to construct what are now known as Bézier curves.
In 1962, he introduced the first software system that employed Bézier curves and Bézier surfaces, significantly improving the ability to control the shape of automobile surfaces.
In December 1983, at the University of Civil Engineering in Sofia, Bulgaria, Nguyen Duc Minh, after studying many different methods, chose to apply the ideas of Bézier curves and surfaces to develop an interpolation method for terrain contour lines and to construct digital terrain models—the most complex types of curves and surfaces in their category.
Nguyen Duc Minh applied the principles of the finite element method (FEM) to interpolate terrain contour lines using segments of Bézier curves. In his thesis, he also proposed a method for building digital terrain models over large areas using non-overlapping triangular elements.
Contour lines describe the topography of a terrain, which itself is a random result of natural forces like rain, wind, and flooding. Therefore, a special approach is needed. The surface should be divided into segments or zones that reflect the local geographic characteristics.
The result is a continuous curve over all segments, with smooth transitions ensured by shared derivatives. Similarly, surfaces made from triangular elements maintain continuity and smoothness at the vertices that define the region.
Contour lines have been used to describe terrain both on paper and on early computers, even when memory and processing power were severely limited, as in 1986. Today, with advancements in data storage, processing speed, and even the use of AI, applying the finite element method has become even more effective. This represents a growing trend in both engineering and everyday applications.
Conclusion:
If a curve is enclosed in a Bézier control polygon, its trajectory never crosses the polygon's boundary, ensuring its path is always safe. Similarly, a surface enclosed within a Bézier control mesh ensures that any trajectory across the surface remains safe.
This concept of “Bézier cages” could be extended to explore future solutions for problems related to stability and dynamic stability.
https://drive.google.com/file/d/1wiyFAroIsP6VnQMVNBfC9YeajZfzHLiA/view?usp=drive_link
